Table des Matieres :

V.1 INTRODUCTION *

V.2 CODAGE *

V.2.1 PRINCIPE DU CODAGE *

V.2.2 CALCUL DES TRIANGULATIONS *

V.2.3 CALCUL DE LA TRANSFORMATION FRACTALE *

V.3 DECODAGE DE L’IMAGE *

V.4 ACCELERATION DU CODEC (CODAGE / DECODAGE) *

CONCLUSION *

Le travail de Jacquin tel qu’il a été présenté dans le chapitre III a démontré l’intérêt de s’inspirer de la théorie des IFS pour coder des images naturelles mais n’ont cependant pas permis d’atteindre des taux de compression élevés. Cette limitation est due au fait que la partition R proposée est carrée régulière et donc composée d’un nombre trop important de blocs r_i d’où un temps énorme lors du la recherche des similarités et codage des transformations locales. Différentes recherches ont prouvé que ce problème peut être contourné en calculant la transformation fractale sur un partitionnement carré ou rectangulaire adapté au contenu de l’image (quadtree, H-V).

Nous décrivons dans ce chapitre, notre étude qui consiste à calculer la transformation fractale de l’image sur un partitionnement triangulaire adapté au contenu de l’image. Ce partitionnement étant souple (calculé sur un ensemble de points pouvant être positionnés n’importe où sur le support de l’image), va permettre de minimiser le nombre de blocs destinations et de là le nombre de comparaisons inter-blocs.

Nous verrons que cette méthode de codage diffère du schéma de base dans le sens où les contraintes imposées sur les tailles des blocs source et destination sont plus souples que celles imposées dans les schémas classiques puisque les formes respectives des triangles peuvent être quelconques.

La compression d’une image A par fractales consiste à calculer la transformation finalement contractante W qui permet de vérifier la relation suivante :

W(A) = w_i(d_i) =

Où les n blocs r_i sont appelés blocs destination, et les blocs d_i sont appelés blocs source. Nous rappelons qu’un bloc source d_i peut être associé à plusieurs blocs destination.

La transformation w_i a pour effet de ramener le bloc source d_i sur le bloc destination r_i en déformant son support (isométrie, translation) et en modifiant sa fonction de luminance, de manière à ce que le bloc transformé approxime le bloc destination r_i.

Soient N le nombre de blocs destination r_i de la triangulation R (adaptée au contenu de l’image), et Q le nombre de blocs source d_i de la triangulation D (régulière).

L’algorithme consiste à associer à chacun des blocs r_i le bloc d_i qui minimise la distorsion d entre les niveaux de gris du bloc r_i et ceux du bloc d_i transformé par w_i.

La transformation massique qui réalise le collage du bloc source d_i sur le bloc destination r_i est la même que celle utilisée par Jacquin (section III.3.4) et Fisher (section III.3.5). Elle n’est composée que de deux coefficients : le coefficient de décalage b ₁⁽ⁱ⁾ et le coefficient d’échelle b ₂⁽ⁱ⁾.

Figure V.1 :Partitions D et R.

C’est une triangulation régulière (triangles de même taille et forme géométrique, et ne se recouvrent pas) appelée triangulation D. Lorsque le nombre des triangles est élevé, l’image transformée W(A) peut être très proche de l’image originale A. Cependant, cela est fait au détriment du temps de codage, qui devient élevé dû au nombre de comparaisons inter-blocs (N*Q comparaisons), où N est le nombre de blocs destination et Q est le nombre de blocs source.

La triangulation des blocs destination appelée partition R est une collection de triangles adaptés au contenu de l’image. Divers algorithmes permettant de calculer une telle triangulation ont été étudiés dans le chapitre IV.

La transformation élémentaire w transformant un bloc source d en un bloc destination r s’écrit :

où f (x_i ,y_i) est la luminance du pixel de coordonnées (x_i ,y_i) à l’intérieur du bloc source d,

f (x_i^’, y_i^’) est la luminance du pixel de coordonnées (x_i^’, y_i^’) à l’intérieur du bloc destination r, et v dénote la transformation spatiale d’un triangle d sur un triangle r. les coefficients b ₂ et _{b 1} contrôlent respectivement le contraste et la luminosité des pixels de l’image.

Rappelons qu’une transformation fractale est la combinaison de deux transformations : spatiale et massique.

Dans le cas du partitionnement en blocs carrés, la comparaison inter bloc est facile à mettre en œuvre, elle est obtenue en calculant l’erreur entre la valeur de chaque pixel r_ij du bloc destination r avec la valeur f (x_i, y_i) obtenue en moyennant les 2*2 pixels connexes dans le bloc source d.

Dans l’approche adoptée, où les blocs source et destination sont triangulaires, la comparaison inter-blocs nécessite l’utilisation de transformations spatiales pour comparer le contenu des triangles. Ceci est dù au fait que les triangles sont à priori de forme et d’orientation quelconques sur le support de l’image. Pour cela, la transformation affine 2D utilisée est de la forme :

  = Lx + t

où les coefficients a, b, c, d, e et f sont des réels, et v : .

La transformation L est une combinaison de rotation et de changement d’échelle et t est une translation.

La transformation v préserve les lignes parallèles et les distances relatives entre les points.

Pour calculer les six coefficients de la transformation v, il suffit de fixer trois points de départ (pour le triangle source) et trois autres points de l’espace d’arrivée (pour le triangle destination).

Soient P_i un point de départ et un point d’arrivée alors :

En généralisant la même équation sur les trois sommets du triangle source, on obtient un système de six équations à six inconnues sous la forme matricielle suivante :

Le calcul de l’erreur d(r,w(d)) considère l’ensemble des pixels inclus dans le triangle r et l’échantillonnage du triangle d par la transformation spatiale v^-1 (chaque pixel r_i de r est comparé au pixel le plus proche de son antécédent par la transformation spatiale v ). Si le bloc r contient M pixels, l’erreur d est donnée par la relation:

Où (x’_i ,y’_i) sont les coordonnées d’un pixel d’indice i dans le bloc r.

Figure V.2 :Echantillonnage du bloc source.

Soit le vecteur , égal à l’approximation du vecteur destination r, donné par :

appartient au sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs b₁,et b₂ ,où b₁ est un vecteur de base unitaire (b₁ = [1, 1,…,1]^T), et b₂ est un vecteur extrait de l’image à coder. Chacun des vecteurs, r, b₁,et b₂ est de dimension M .

Le calcul des coefficients b ₂ et b ₁ soulève des problèmes théoriques et pratiques délicats concernant :

 l’assurance de la convergence du décodeur vers une image proche de l’image originale ,

‚ le maintien des valeurs de luminance des images reconstruites au fur et à mesure des itérations de décodage à l’intérieur de la plage :[lum_min = 0,…,lum_max = 255].

Les coefficients b ₂ et b ₁ optimaux sont classiquement calculés de manière à obtenir la meilleure approximation du bloc r, au sens de la norme L₂. Celle-ci s’écrit :

Lorsque le calcul n’est pas contraint, le coefficient d’échelle b ₂ peut atteindre des valeurs élevées largement supérieures à 1, pouvant entraîner une divergence lors du décodage itératif. Pour pallier à ce problème, les auteurs s’imposent expérimentalement de borner tous les modules des coefficients d’échelle b ₂ par une valeur b _2max égale à 1.6 [BOS 92]. Cette limite supérieure, tout en étant nécessaire, rend les approximations sous-optimales, et influe sur la rapidité de convergence du décodeur. Si b _2max est trop petite (inférieure à 0.5), le décodage est rapide, mais ne converge pas vers le point fixe désiré puisque les collages sont de mauvaise qualité. Si au contraire b _2max est supérieure à 1.6, la convergence n’est plus assurée.

Le deuxième point cité ci-dessus vise à réduire la propagation des erreurs au cours du décodage itératif. Il est important de noter que la reconstruction à l’itération n d’un pixel met généralement à contribution n autres pixels répartis sur l’image entière. L’erreur de reconstruction d’une partie de l’image influe donc sur le reste de l’image.

Les coefficients b ₂ et b ₁ sont calculés pendant la phase de codage pour approximer un bloc dont les valeurs de luminance sont incluses dans [0,…,255], et sont dépendants l’un de l’autre : par exemple, lorsque le coefficient d’échelle est égale à –1, le coefficient de décalage peut être de forte valeur pour ramener la luminance des pixels intérieurs au bloc dans la plage autorisée.

Lors du décodage, les mêmes coefficients b ₂ et b ₁ sont appliqués sur les pixels d’une image quelconque servant à initialiser le décodeur. Ils peuvent donc retourner à la première itération des valeurs de luminance sortant largement de l’intervalle permis. Ces erreurs sont en pratique ramenées dans l’intervalle [0,…,255] par troncature, mais elle se propage à la deuxième itération sur des zones quelconques de l’image. Elles tendent ensuite à s’estomper puisque le coefficient d’échelle b ₂ est en module inférieur à 1. Un bloc erroné (dont les luminances sortent largement de l’intervalle [0,…,255]), de grande taille, reste cependant longtemps visible au cours des itérations, et impose à l’utilisateur d’itérer plus longtemps la transformation fractale pour obtenir un résultat correct.

Une fois les coefficients calculés, ils sont quantifiés séparément à l’aide d’un quantificateur scalaire uniforme, avant d’être réintroduits dans l’expression de la distorsion. Ceci permet de prendre en compte les erreurs de quantification lors du calcul des similarités entre blocs. Ils sont quantifiés sur nb ₂ et nb ₁ bits. Il est vérifié expérimentalement que la combinaison : nb ₂ = nb ₁ = 6 bits est dans la plupart des cas la plus optimale.

La compression d’image par la méthode développée se traduit par :

 la mémorisation de l’information nécessaire au codage des N transformations w composant l’opérateur W ;

‚ la mémorisation de la partition R adaptée au contenu de l’image originale.

Le codage des transformations w_i comprend :

 l’indice du bloc d_i à transformer (associé au bloc r_i ). Lorsque le nombre de triangles source dans la partition régulière D est inférieur à 1024, l’indice est codé sur n_i = 10 bits ;

‚ la manière de coller un bloc sur un autre bloc (il existe 6 solutions pour coller un triangle d sur un triangle r. La combinaison est codée sur n_c = 3 bits.

ƒ le facteur d’échelle b ₂ quantifié uniformément sur nb ₂ = 6 bits ;

„ le facteur de décalage b ₁ quantifié uniformément sur nb ₁ = 6 bits .

Une transformation w_i est donc codée sur 10 + 3 + 6 + 6 = 25 bits.

Les coefficients a_i, b_i, c_i, d_i, e_i et f_i des transformations w_i ne sont pas mémorisés car ils peuvent être calculés par le décodeur. La forme des blocs source et destination étant transmis par le codeur.

Précédemment, on a vu que la partition D est une partition régulière qui ne dépend pas du contenu de l’image. donc, il suffit, pour la coder, de mémoriser le pas de partitionnement sur un seul octet.

Les techniques de codage de la partition R sont variées. Elles dépendent des algorithmes utilisés pour sa construction :

- Lorsque la partition est contrainte par les contours de l’image (les triangles s’appuient contre les contours), il est nécessaire de mémoriser les coordonnées des trois sommets de chaque bloc (triangle), cela signifie que le codage de la partition représente une grande portion d’information totale à mémoriser.

- Lorsque la partition est réalisée à partir de la procédure de division seule ou de la division-fusion, au lieu de mémoriser les sommets de chaque triangle, la procédure consiste à ne mémoriser que les étapes de division et/ou de fusion, en partant d’un partitionnement régulier connu du codeur et du décodeur. Lors des étapes de division, l’ajout d’un point sur le barycentre d’un triangle non-homogène est codé sur un bit. Lors de l’étape de fusion, la suppression d’un sommet est de la même façon codée sur un bit.

L’algorithme suivant résume les étapes du codage expliquées précédemment :

Le processus du décodage commence par l’allocation d’une image initiale quelconque. Ensuite, le processus reconstruit les triangles source et destination en utilisant les paramètres nécessaires pour les deux partitionnements (le pas de la triangulation source ainsi que la manière de subdiviser les triangles destination qui sont récupérés à partir du fichier de l’image

l’opérateur W est donnée par :

le résultat converge en pratique au terme de 5 à 10 itérations vers l’image reconstruite, attracteur de la transformation fractale.

Au cours des itérations, on applique pour chaque bloc destination la transformation locale nécessaire sur le bloc source correspondant.

L’algorithme de décodage est résumé dans ce qui suit :

Oien [OIE 94] a proposé une solution permettant d’accélérer la phase de décompression en effectuant une orthogonalisation des vecteurs de base b₁ et b₂ engendrant le sous-espace vectoriel de collage.

Le deuxième avantage de cette approche est de ne pas imposer de contraintes aux coefficients b ₁ et b ₂.

L’orthogonalisation de bloc b₂ par rapport au vecteur constant unitaire b₁ est faite à l’aide de la procédure de Gram-Shmidt. La procédure revient à multiplier le vecteur b₂ par la matrice orthogonalisante O donnée par :

Où I est la matrice d’identité de dimension MxM (M est la dimension de b₁).

Le vecteur orthogonalisé b ₂ est donné par :

Ceci revient en pratique à enlever les composantes de b₂ appartenant au sous-espace engendré par le vecteur b₁, et donc à annuler les valeurs moyennes du bloc b₂.

La transformation massique utilisée dans le nouveau sous-espace engendré par b₁ et b₂ est donnée par :

Les coefficients a _i sont dans ce cas indépendants les uns des autres.

G.Oien et S.Lepsoy [LEP 94] ont donné une solution pratique et rapide permettant d’orthogonaliser explicitement les vecteurs b₁et b₂ pour calculer les valeurs de a ₁ et a ₂ en utilisant les deux relations :

dans lesquelles r_j (resp. b_j) sont les pixels intérieurs au bloc r (resp. b₂).

Les coefficients b ₁ et b ₂ sont obtenus à partir des nouveaux coefficients a ₁ et a ₂ par les relations :

Nous avons vu que la durée importante de la phase de codage par fractales est essentiellement due au grand nombre de comparaisons entre les blocs destination de la partition R et les blocs source de la partition D. Notre but est d’accélérer le codage en réduisant le nombre de comparaisons inter-blocs.

En effet, dés 1989, de nombreuses recherches ont débuté visant toutes à accélérer la phase de compression / décompression, et /ou répondre au compromis taux de compression / distorsion.

Dans ce paragraphe, on présente deux techniques permettant d’accélérer la phase de codage : la classification des triangles et la quantification des blocs source. Dans notre logiciel, nous avons implémenté la deuxième technique.

Une méthode simple nous permet de regrouper les triangles de la partition D dans trois classes distinctes :

 classe des triangles homogènes ;

‚ classe des triangles avec contours ;

ƒ classe des triangles texturés.

Ceci est dans le but de réduire le nombre de comparaisons entre les blocs destination et les blocs source, en se basant sur le fait qu’un triangle destination ne sera comparé qu’avec les triangles source de même classe que le premier.

L’algorithme de classification consiste à :

 calculer le gradient de l’image d’entrée ;

‚ séparer les triangles incluant des contours contrastés aux autres triangles ;

ƒ les autres triangles (n’incluant pas de contours) seront regroupés dans deux autres classes (triangles homogènes, triangles texturés) en appliquant un seuil sur la variance du gradient.

Dans cette technique, on se propose de quantifier les triangles sources à l’aide d’un quantificateur vectoriel (voir section II.6.1) de façon à ne conserver dans la partition D qu’un nombre réduit de triangles " représentatifs " de l’image. L’étude montre en outre qu’il n’est pas nécessaire d’utiliser toutes les parties de l’image pour calculer l’opérateur W définissant la transformation fractale et que quelques régions représentatives peuvent suffire (les collages se font bien sûr toujours sur le partitionnement complet R du support de l’image) [DAV 96].

Notons que le fait d’utiliser une triangulation D composée de blocs source qui ne se recouvre pas est une première simplification par rapport à l’approche optimale qui consiste à rechercher les blocs source parmi tous les blocs possibles de l’image.

La solution consiste à calculer l’histogramme centré et normalisé des niveaux de gris de chaque triangle source de façon à quantifier des vecteurs de longueur constante et indépendants de la forme spatiale des blocs.

La réduction du nombre de triangles source dans la partition D est effectuée par quantification vectorielle de leurs histogrammes, en utilisant une version modifiée de l’algorithme de Linde, Buzo et Gray (LBG) [LIN 80], détaillé dans ce qui suit. Le critère de distorsion utilisé lors de la classification des vecteurs histogramme est celui de l’erreur quadratique, donné par l’équation suivante :

dans laquelle l_h est la longueur des vecteurs et hd_i(k), hd_j(k) sont les amplitudes d’indice k des histogrammes des triangles d_i et d_j.

L’algorithme LBG est modifié de manière à ce qu’il génère un dictionnaire constitué de vecteurs appartenant à la séquence d’apprentissage (partition D). Pour cela, au lieu de retenir le vecteur " centroïde "de chacune des partitions du dictionnaire en cours d’élaboration, on retient plutôt le vecteur histogramme hd le plus proche du centroïde, au sens de l’erreur quadratique.

L’algorithme du codage est le même que celui décrit précédemment (section V.2.1) mis à part le fait qu’il ne considère qu’un nombre restreint de triangles source au sein de la partition régulière D.

A travers le schéma d’un QV (section II.6.1), il est aisé de se rendre compte de l’importance primordiale du dictionnaire utilisé lors des opérations de codage et de décodage.

Un dictionnaire, indépendamment de son mode de construction et du système de recherche employé, est défini par deux paramètres principaux :

 son nombre de vecteurs représentants N ;

‚ la dimension de l’espace vectoriel : dimension des vecteurs représentants k.

Ces deux paramètres apparaissent étroitement liés et c’est en essayant d’ajuster au mieux la valeur de ces paramètres qu’il sera possible de construire un bon dictionnaire.

Cet algorithme connu sous le nom de LBG est une généralisation de la méthode proposée par Llyod [LLO 82] en 1960, pour la quantification scalaire. Il a pour but de générer une partition sur une image (séquence d’apprentissage), partant d’un dictionnaire initial composé de vecteurs les plus " éloignés " possibles. Ces vecteurs doivent être représentatifs des vecteurs rencontrés parmi les images à coder. L’algorithme itératif converge vers un dictionnaire localement optimal.

 on se donne un dictionnaire initial C⁰ composé de N_c vecteurs Y_i(i =1…N_c), une mesure de distorsion d, un seuil e ³ 0, un compteur d’itération l = 0, une distorsion moyenne D^l-1 initialisée avec une très grande valeur et une séquence d’apprentissage composée de n vecteurs (X_j , j = 1…n), D^-1 = valeur_maximale, p : nombre maximum d’itérations.

‚ partant de dictionnaire C^l = (Y_i , i = 1…N_c), trouver la partition S^l = (S_i, i = 1…N_c) de la séquence d’apprentissage minimisant la distorsion :

X_j Î S_i si d(X_{j ,} Y_i) £ d(X_{j ,} Y_m), " m. Autrement dit :

• Pour tous les vecteurs X_j de la séquence d’apprentissage (j = 1…n)
• Pour tous les vecteurs Y_i du dictionnaire (i = 1…N_c)
• Si d(X_{j ,} Y_i) £ d(X_{j ,} Y_m), " m alors X_{j Î} S_i.

La recherche de la distorsion minimale définit une région de décision S_i pour chaque vecteur Y_i du dictionnaire. Chaque vecteur X_j de la séquence d’apprentissage inclus dans la région de décision S_i est approximé par le vecteur Y_i associé.

ƒ calculer la distorsion moyenne :

Cette expression permet de calculer la moyenne des distorsions minimales entre les n vecteurs X_j de la séquence d’apprentissage et les vecteurs d’approximation Y correspondant (à ce niveau d’itération de l’algorithme).

„ si , le dictionnaire C^l est conservé. La procédure s’arrête. Sinon, continuer.

… rechercher l’ensemble optimal des vecteurs d’approximation Y(S^l) = Y(S_i),

(i = 1…N_c).

est le barycentre (centroïde) de la partition S_i : le nouveau vecteur d’approximation de chaque partition est le barycentre de tous les vecteurs de la séquence d’apprentissage appartenant à la partition. ||S_i|| est le nombre de vecteurs d’apprentissage X_j inclus dans la cellule S_i. L’utilisation de l’erreur quadratique moyenne pour le calcul des vecteurs Y(S_i) reviendrait à calculer la moyenne des vecteurs de la séquence d’apprentissage à l’intérieur des régions S_i.

† actualiser le dictionnaire : C^l+1 = Y(S^l), incrémenter l et aller à l’étape (2).

Cet algorithme d’optimisation itératif travaille à partir d’un dictionnaire initial. Le problème est donc reporté sur le choix de ce dictionnaire initial dont l’expérience a prouvé qu’il contribuait fortement aux performances de l’algorithme LBG. En effet, chaque itération ne provoquant qu’un changement local du dictionnaire, l’algorithme converge vers le minimum local le plus proche du dictionnaire initial.

Le nombre d’itérations maximum a été introduit lors de la mise en œuvre du QV afin de réduire le temps de conception des dictionnaires, cependant, le nombre maximum d’itérations ayant été fixé à 20, celui-ci n’intervient que dans de rares cas et n’entraîne pas de hausse signifiante de la distorsion. Le problème est donc reporté sur la construction du dictionnaire initial.

Différentes solutions permettent la généralisation du dictionnaire initial nécessaire à l’algorithme LBG. Nous n’en citerons que deux :

Méthodes aléatoires

Les N_c vecteurs sont regroupés aléatoirement pour former le dictionnaire initial. Une solution est de prendre N_c vecteurs dans la séquence d’apprentissage, ou dans différentes images. Les vecteurs doivent être le plus " éloignés " possible. Ce choix de vecteurs amène souvent dans un minimum local loin du minimum global.

Méthodes des divisions successives (algorithme de Splitting):

Linde, Buzo et Gray ont proposé de partir de la séquence d’apprentissage. Le centroïde de celle-ci (moyenne de tous les vecteurs de la séquence) est calculé. Le vecteur résultant est divisé en deux (la division est réalisée en ajoutant une quantité +j et -j au vecteur). L’algorithme LBG est ensuite exécuté pour retourner un dictionnaire optimal de taille deux. Le processus est itéré pour retourner un dictionnaire optimal de taille 2², 2³,…,et enfin N_c.

Le procédé de construction est le suivant:

Etape 0: initialisation

‚ Noter u le vecteur de IR^k ayant toutes ses composantes égales à 1.

ƒ Fixer une perturbation scalaire e .

„ Fixer le débit R.

… Fixer un seuil de distorsion D .

† Prendre r = 0.

Etape 1:

 Perturber le dictionnaire courant selon:

‚ Incrémenter r.

 Considérer le nouveau dictionnaire .

‚ Exécuter l'algorithme de LBG sur le dictionnaire Y.

ƒ Si

• Arrêter en retenant Y (r )

• Retourner à l'étape 1.

Cet algorithme a été mis en œuvre lors de la conception de notre QV.

L’avantage de la méthode est double puisqu’elle permet :

 de diminuer très sensiblement la durée du codage (qui est dans ce cas sous-optimale) ;

‚ d’augmenter le taux de compression.

Nous donnons ci-dessous les expressions permettant de calculer le taux de compression lorsque l’ensemble des triangles de la partition D sont considérés (eq.V.1) et lorsque les triangles source sont quantifiés (eq.V.2) :

Où n est le nombre de bits nécessaires au codage de la largeur de l’image supposée carrée, N est le nombre de triangles destination, 1 désigne le nombre de blocs source retenus après quantification de la partition D, X le nombre de bits codant les partitions D et R, et X’ est le nombre de bits codant la partition D seulement.

Les notations n_i (n_i = [log₂ (M)]), n_c, nb ₂ et nb ₁ sont les mêmes que celles utilisées dans la section V.3.1. L’étape de quantification permet donc d’augmenter le taux de compression si elle vérifie l’expression 1 (3*2*n)+X’ < N*n_i+X_.

Les temps de calculs sont importants pour le codage d’une image. Ils dépendent directement du nombre N de triangles dans la partition R ainsi que le nombre Q de blocs considérés dans la partition D, puisque N*D comparaisons inter-blocs sont réalisés. La version actuelle de notre algorithme de compression est plus coûteuse en temps de calcul que la même version basée sur un partitionnement carré ou rectangulaire [FIS 95].

Ceci s’explique par le fait que la comparaison des triangles implique le calcul d’une transformation affine pour chaque pixel du triangle destination. Des améliorations de l’algorithme consistaient à intégrer la QV lors du codage, des gains importants en temps de calcul et taux de compression ont été observé.

La mesure de la performance d’un codeur en terme de qualité visuelle de l’image reconstruite se fait généralement en mesurant le rapport signal à bruit ou le rapport signal à bruit de crête dont les expressions sont données ci-dessous :

Le rapport signal à bruit, noté SNR, entre l’image originale composée de pixel f(x,y) et l’image décodée composée de pixels F(x,y) est donnée par :

Le rapport signal à bruit de crête, noté PSNR, (plus souvent utilisé en compression) est donné par :